ভগ্নাংশ যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ করার সহজ নিয়ম

ভগ্নাংশ গণিতের এমন একটি বিষয়, যেটা প্রথমে একটু জটিল মনে হলেও নিয়মগুলো পরিষ্কারভাবে বুঝে নিলে হিসাব করা বেশ সহজ। একটি সংখ্যাকে সমান অংশে ভাগ করে তার নির্দিষ্ট কয়েকটি অংশ বোঝাতে ভগ্নাংশ ব্যবহার করা হয়। যেমন, একটি কেককে ৪টি সমান অংশে ভাগ করার পর ১টি অংশ নিলে সেটিকে ১/৪ লেখা যায়।

দৈনন্দিন হিসাব থেকে শুরু করে স্কুল-কলেজের গণিত—অনেক জায়গাতেই ভগ্নাংশের প্রয়োজন হয়। বিশেষ করে দুটি বা তার বেশি ভগ্নাংশ নিয়ে হিসাব করার সময় যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগের নিয়ম আলাদা। তাই শুধু সূত্র মুখস্থ না করে কোন ক্ষেত্রে কী করতে হবে, সেটি বোঝা বেশি গুরুত্বপূর্ণ।

এই লেখায় খুব সাধারণভাবে ভগ্নাংশ যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ করার নিয়ম দেখানো হয়েছে। পাশাপাশি প্রতিটি নিয়মের সঙ্গে ছোট উদাহরণ দেওয়া হয়েছে, যাতে হিসাব করার পদ্ধতিটা সহজে বোঝা যায়।

ভগ্নাংশ কী?

ভগ্নাংশ সাধারণত দুটি সংখ্যা নিয়ে গঠিত হয়। যেমন ৩/৫-এ ৩ হলো লব এবং ৫ হলো হর। মাঝের দাগটি বোঝায় যে উপরের সংখ্যাকে নিচের সংখ্যা দিয়ে ভাগ করা হচ্ছে।

অর্থাৎ,

৩/৫ = ৩ ÷ ৫

এখানে ৩ হলো লব এবং ৫ হলো হর। হর কখনো শূন্য হতে পারে না।

লব ও হর কী?

কোনো ভগ্নাংশে উপরের সংখ্যাকে বলা হয় লব এবং নিচের সংখ্যাকে বলা হয় হর। যেমন ৭/৯ ভগ্নাংশে ৭ হলো লব এবং ৯ হলো হর।

সহজভাবে মনে রাখার জন্য বলা যায়, লব জানায় কতটি অংশ নেওয়া হয়েছে, আর হর জানায় পুরো জিনিসটিকে কতটি সমান অংশে ভাগ করা হয়েছে।

ভগ্নাংশের যোগ করার নিয়ম

ভগ্নাংশ যোগ করার সময় প্রথমেই দেখতে হবে ভগ্নাংশগুলোর হর একই কি না। হর একই হলে কাজটি খুব সহজ। শুধু লবগুলো যোগ করে হরটি একই রাখতে হয়।

যেমন:

২/৭ + ৩/৭

এখানে দুটি ভগ্নাংশের হরই ৭। তাই লব যোগ করলে:

(২ + ৩)/৭ = ৫/৭

অতএব, ২/৭ + ৩/৭ = ৫/৭।

হর আলাদা হলে কী করতে হবে?

দুটি ভগ্নাংশের হর আলাদা হলে সরাসরি লব যোগ করা যাবে না। প্রথমে ভগ্নাংশ দুটির হরকে একই করতে হবে। এ জন্য সাধারণত লসাগু বা Least Common Multiple ব্যবহার করা হয়।

ধরা যাক:

১/৩ + ১/৬

৩ ও ৬-এর লসাগু হলো ৬। তাই প্রথম ভগ্নাংশকে ৬ হরযুক্ত ভগ্নাংশে পরিবর্তন করা যায়:

১/৩ = ২/৬

এখন হিসাবটি দাঁড়াল:

২/৬ + ১/৬ = ৩/৬

৩/৬-কে সরল করলে পাওয়া যায় ১/২।

অর্থাৎ, ১/৩ + ১/৬ = ১/২।

ভগ্নাংশ বিয়োগ করার নিয়ম

ভগ্নাংশ বিয়োগের ক্ষেত্রেও যোগের মতো প্রথমে হরগুলো দেখতে হয়। হর একই হলে শুধু লব বিয়োগ করতে হবে এবং হর অপরিবর্তিত থাকবে।

যেমন:

৫/৮ − ২/৮

এখানে হর একই। তাই:

(৫ − ২)/৮ = ৩/৮

অর্থাৎ, ফলাফল ৩/৮।

আলাদা হরের ভগ্নাংশ বিয়োগ

হর আলাদা হলে আগে একই হর তৈরি করতে হবে। যেমন:

৫/৬ − ১/৪

৬ ও ৪-এর লসাগু হলো ১২। তাই:

৫/৬ = ১০/১২

এবং

১/৪ = ৩/১২

এখন বিয়োগ করলে:

১০/১২ − ৩/১২ = ৭/১২

সুতরাং, ৫/৬ − ১/৪ = ৭/১২।

ভগ্নাংশ গুণ করার নিয়ম

দুটি সাধারণ ভগ্নাংশ গুণ করার ক্ষেত্রে আলাদা করে হর সমান করার দরকার হয় না। প্রথম ভগ্নাংশের লবের সঙ্গে দ্বিতীয় ভগ্নাংশের লব এবং প্রথম ভগ্নাংশের হরের সঙ্গে দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর গুণ করতে হয়।

যেমন:

২/৩ × ৪/৫

লব গুণ করলে:

২ × ৪ = ৮

হর গুণ করলে:

৩ × ৫ = ১৫

তাই ফলাফল:

৮/১৫

অর্থাৎ, ২/৩ × ৪/৫ = ৮/১৫।

গুণের আগে সরল করা যায়

কিছু ক্ষেত্রে গুণ করার আগে আড়াআড়িভাবে সাধারণ গুণনীয়ক কেটে হিসাব ছোট করা যায়। এতে বড় সংখ্যা নিয়ে কাজ করার ঝামেলা কমে। তবে কাটাকাটি করার সময় কোন সংখ্যা লব এবং কোনটি হর, সেটি খেয়াল রাখা জরুরি।

উদাহরণ হিসেবে ২/৯ × ৩/৪ নেওয়া যাক। এখানে ২ ও ৪ এবং ৩ ও ৯-এর মধ্যে সাধারণ গুণনীয়ক রয়েছে। আগে সরল করলে হিসাবটি ছোট হয়ে যায় এবং শেষ ফলাফল বের করা সহজ হয়।

ভগ্নাংশ ভাগ করার নিয়ম

ভগ্নাংশ ভাগ করার সময় দ্বিতীয় ভগ্নাংশটিকে উল্টে দিয়ে গুণ করতে হয়। অর্থাৎ দ্বিতীয় ভগ্নাংশের লব ও হর পরস্পরের স্থান পরিবর্তন করবে। একে অনেক সময় reciprocal নেওয়া বলা হয়।

ধরা যাক:

২/৩ ÷ ৪/৫

এখানে দ্বিতীয় ভগ্নাংশ ৪/৫। এটিকে উল্টালে হয় ৫/৪। এরপর ভাগের চিহ্নের পরিবর্তে গুণ করতে হবে:

২/৩ × ৫/৪

এখন লব ও হর গুণ করলে:

(২ × ৫)/(৩ × ৪) = ১০/১২

১০/১২ সরল করলে পাওয়া যায়:

৫/৬

তাই, ২/৩ ÷ ৪/৫ = ৫/৬।

মিশ্র ভগ্নাংশের হিসাব কীভাবে করবেন?

মিশ্র ভগ্নাংশে একটি পূর্ণসংখ্যা এবং একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ থাকে। যেমন ২ ১/৩ একটি মিশ্র ভগ্নাংশ। এটিকে আগে অপ্রকৃত ভগ্নাংশে পরিবর্তন করলে পরবর্তী হিসাব সহজ হয়।

মিশ্র ভগ্নাংশকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশে পরিবর্তনের নিয়ম হলো:

(পূর্ণসংখ্যা × হর + লব) / হর

যেমন ২ ১/৩:

(২ × ৩ + ১)/৩ = ৭/৩

অর্থাৎ, ২ ১/৩ = ৭/৩।

এরপর প্রয়োজন অনুযায়ী যোগ, বিয়োগ, গুণ বা ভাগের নিয়ম প্রয়োগ করা যায়।

ভগ্নাংশকে সরল করার নিয়ম

একটি ভগ্নাংশের লব ও হরকে একই সংখ্যা দিয়ে ভাগ করে যদি আরও ছোট আকারে লেখা যায়, তাহলে সেটিকে সরল ভগ্নাংশ বলা হয়।

যেমন:

১২/১৮

১২ এবং ১৮ উভয়ই ৬ দিয়ে ভাগ করা যায়। তাই:

১২ ÷ ৬ = ২

১৮ ÷ ৬ = ৩

ফলে:

১২/১৮ = ২/৩

সরল করার সময় এমন একটি সাধারণ গুণনীয়ক ব্যবহার করা ভালো, যার মাধ্যমে লব ও হর দুটোকেই আর ভাগ করা না যায়।

ভগ্নাংশের হিসাব দ্রুত যাচাই করার উপায়

নিজে হাতে হিসাব করার পর ফলাফল ঠিক হয়েছে কি না, সেটি যাচাই করতে কয়েকটি বিষয় দেখা যায়। প্রথমে লব ও হরের মধ্যে কোনো সাধারণ গুণনীয়ক আছে কি না পরীক্ষা করুন। থাকলে ভগ্নাংশটি আরও সরল করা যায়।

দ্বিতীয়ত, ফলাফলটি আনুমানিকভাবে যৌক্তিক কি না দেখুন। যেমন ১/২-এর সঙ্গে ১/৪ যোগ করলে ফলাফল ১-এর বেশি হওয়ার কথা নয়। আবার দুটি ধনাত্মক ভগ্নাংশ গুণ করলে অনেক ক্ষেত্রে ফলাফল মূল সংখ্যাগুলোর তুলনায় ছোট হতে পারে। এভাবে আনুমানিক হিসাব মিলিয়ে নিলে ভুল ধরতে সুবিধা হয়।

যদি একাধিক ভগ্নাংশ নিয়ে হিসাব করতে হয় বা দ্রুত ফলাফল যাচাই করতে চান, তাহলে CalculatorBD-এর Fraction Calculator ব্যবহার করতে পারেন। হাতে করা হিসাবের সঙ্গে ফলাফল মিলিয়ে দেখার জন্য এটি কাজে লাগতে পারে।

ভগ্নাংশের হিসাব করার সময় যে ভুলগুলো বেশি হয়

১. আলাদা হরের ভগ্নাংশের লব সরাসরি যোগ করা: ১/২ + ১/৩-কে ২/৫ লেখা ঠিক নয়। আগে হর সমান করতে হবে।

২. গুণের সময় অযথা হর সমান করা: ভগ্নাংশ গুণ করার জন্য হর একই করার প্রয়োজন নেই। সরাসরি লবের সঙ্গে লব এবং হরের সঙ্গে হর গুণ করা যায়।

৩. ভাগের সময় দ্বিতীয় ভগ্নাংশ উল্টে না দেওয়া: ভগ্নাংশ ভাগ করার ক্ষেত্রে দ্বিতীয় ভগ্নাংশের লব ও হরের অবস্থান পরিবর্তন করতে হয়।

৪. সরল করতে ভুলে যাওয়া: ফলাফল ৬/৮ এলে সেটিকে ৩/৪ করা যায় কি না পরীক্ষা করা উচিত।

৫. হরকে শূন্য করা: কোনো ভগ্নাংশের হর শূন্য হতে পারে না। তাই হিসাব করার সময় এই বিষয়টি অবশ্যই খেয়াল রাখতে হবে।

এক নজরে ভগ্নাংশের চারটি মূল নিয়ম

বাস্তব জীবনে ভগ্নাংশ কোথায় কাজে লাগে?

ভগ্নাংশ শুধু পরীক্ষার খাতায় ব্যবহৃত হয় না। রান্নার সময় কোনো উপকরণের অর্ধেক বা এক-চতুর্থাংশ পরিমাণ নেওয়া, কোনো দূরত্বের নির্দিষ্ট অংশ হিসাব করা, সময় ভাগ করা কিংবা কোনো কাজের সম্পন্ন হওয়া অংশ প্রকাশ করার ক্ষেত্রেও ভগ্নাংশ ব্যবহার করা হয়।

তাই ভগ্নাংশের মূল ধারণা পরিষ্কার থাকলে পরবর্তী অনেক গাণিতিক হিসাব বুঝতে সুবিধা হয়। বিশেষ করে যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগের পার্থক্যটি ভালোভাবে বুঝে নিলে ভগ্নাংশ নিয়ে কাজ করার সময় ভুলের সম্ভাবনা অনেক কমে যায়।